ماتریس همانی و یکانی چیست؟ توضیح ساده

ماتریس همانی و ماتریس یکانی هر دو ماتریس مربعی‌اند، اما تعریف و کاربردشان یکی نیست. ماتریس همانی که با Iₙ نشان داده می‌شود، روی قطر اصلی درایه‌های ۱ و در جایگاه‌های دیگر درایه‌های صفر دارد؛ ضرب هر ماتریس سازگار در آن، ماتریس را تغییر نمی‌دهد. ماتریس یکانی U نیز ماتریسی مربعی است که ترانهادهٔ مزدوج آن، یعنی U*، با وارونش برابر باشد. به زبان فرمول، U*U = UU* = I. بنابراین هر ماتریس یکانی وارون‌پذیر است و وارون آن را می‌توان با محاسبهٔ ترانهادهٔ مزدوج به دست آورد.

تفاوت اصلی این است که همانی یک ماتریس مشخص با ساختار ساده است، اما یکانی نام گروهی از ماتریس‌ها با خاصیت حفظ طول و ضرب داخلی بردارهای مختلط است. ماتریس همانی خودش یکانی هم هست، ولی هر ماتریس یکانی لزوماً همانی نیست. در حالت حقیقی، شرط یکانی بودن به شرط متعامد بودن تبدیل می‌شود: QᵀQ = I. در ادامه، شکل ماتریس همانی، تعریف و ویژگی‌های ماتریس یکانی و چند مثال ساده را می‌بینید.

ماتریس همانی چیست؟

ماتریس همانی یا ماتریس یکه، ماتریسی مربعی است که درایه‌های قطر اصلی آن برابر با ۱ و همهٔ درایه‌های دیگر آن برابر با صفرند. ماتریس همانی n×n را معمولاً با Iₙ نشان می‌دهند:

Iₙ = diag(1, 1, …, 1)

برای نمونه، ماتریس‌های همانی مرتبهٔ دو و سه چنین‌اند:

I₂ = [[1, 0], [0, 1]]

I₃ = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

نقش ماتریس همانی در ضرب

ماتریس همانی در ضرب ماتریسی نقشی شبیه عدد ۱ در ضرب معمولی دارد. اگر A ماتریسی با ابعاد m×n باشد، آنگاه:

IₘA = A و AIₙ = A

اندازهٔ ماتریس همانی باید با ابعاد ضرب سازگار باشد: ضرب از سمت چپ به Iₘ و ضرب از سمت راست به Iₙ نیاز دارد.

ماتریس یکانی چیست؟

ماتریس مربعی U را یکانی می‌نامند اگر ترانهادهٔ مزدوج آن با وارون ماتریس برابر باشد:

U* = U⁻¹

این شرط به شکل زیر نیز نوشته می‌شود:

U*U = UU* = I

ترانهادهٔ مزدوج با نماد U* یا Uᴴ نشان داده می‌شود و با دو مرحله به دست می‌آید: ابتدا جای سطرها و ستون‌ها را عوض می‌کنیم، سپس هر درایهٔ مختلط را با مزدوج مختلط آن جایگزین می‌کنیم. برای مثال، مزدوج مختلط a + bi برابر a − bi است.

یک مثال از ماتریس یکانی

ماتریس زیر یکانی است:

U = (1/√2) [[1, 1], [1, −1]]

در این مثال U* = U و U² = I₂؛ بنابراین U*U = I₂. این ماتریس یکانی است، اما ماتریس همانی نیست.

تفاوت ماتریس همانی و ماتریس یکانی

ویژگی‌های مهم ماتریس یکانی

• حفظ طول بردار: برای هر بردار مختلط x، داریم ‖Ux‖ = ‖x‖.
• حفظ ضرب داخلی: تبدیل بردارها با U، ضرب داخلی آن‌ها را حفظ می‌کند.
• ستون‌ها و سطرهای متعامدِ واحد: ستون‌های ماتریس یکانی، و به‌همان‌ترتیب سطرهای آن، یک دستگاه متعامدِ یکه می‌سازند.
• دترمینان: قدرمطلق دترمینان ماتریس یکانی برابر ۱ است؛ یعنی |det(U)| = 1.
• مقادیر ویژه: قدرمطلق هر مقدار ویژهٔ ماتریس یکانی برابر ۱ است.

رابطهٔ ماتریس یکانی و متعامد

اگر همهٔ درایه‌های ماتریس حقیقی باشند، مزدوج‌گیری تغییری در آن ایجاد نمی‌کند. در این حالت شرط ماتریس یکانی به شرط ماتریس متعامد تبدیل می‌شود:

QᵀQ = QQᵀ = I

پس ماتریس‌های متعامد حالت حقیقیِ ماتریس‌های یکانی‌اند. برای نمونه، ماتریس دوران دوبعدی زیر متعامد است:

Q = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]

کاربرد ماتریس‌های همانی و یکانی

ماتریس همانی برای نمایش تبدیل همانی، تعریف وارون ماتریس و نوشتن معادلات ماتریسی به کار می‌رود. ماتریس‌های یکانی نیز در تبدیل‌هایی کاربرد دارند که طول و زاویه یا ضرب داخلی را حفظ می‌کنند؛ از جمله در جبر خطی مختلط، پردازش سیگنال و مکانیک کوانتومی.

پرسش‌های متداول

آیا هر ماتریس همانی یکانی است؟

بله. چون I* = I و I*I = I، ماتریس همانی شرط یکانی بودن را دارد.

آیا هر ماتریس یکانی ماتریس همانی است؟

خیر. ماتریس یکانی لازم نیست روی قطر اصلی فقط ۱ داشته باشد. ماتریس یکانی مثال‌زده‌شده در این مطلب، یکانی است اما همانی نیست.

وارون ماتریس یکانی چگونه محاسبه می‌شود؟

وارون ماتریس یکانی برابر ترانهادهٔ مزدوج آن است: U⁻¹ = U*.

آیا ماتریس یکانی می‌تواند درایهٔ مختلط داشته باشد؟

بله. ماتریس یکانی معمولاً روی اعداد مختلط تعریف می‌شود. اگر درایه‌های آن همگی حقیقی باشند، به ماتریس متعامد می‌رسیم.

جمع‌بندی

ماتریس همانی عنصر بی‌اثر در ضرب ماتریسی است و با ۱ روی قطر اصلی و صفر در سایر جایگاه‌ها شناخته می‌شود. ماتریس یکانی با شرط U*U = UU* = I تعریف می‌شود و طول و ضرب داخلی بردارها را حفظ می‌کند. ماتریس همانی نمونه‌ای از ماتریس یکانی است، اما این دو اصطلاح معنای یکسانی ندارند.

— لینک های مرتبط:

• وب سایت en.wikipedia.org